˚ 행렬(Matrix)    n×m 

정의 : 실수를 n행, m열로 나열된 배열을 말한다.

1) 행렬의 스칼라 곱(Scalar Multiplication) : 행렬 A에 실수 k를 곱하는 연산

2) 행렬의 곱셈

 

˚ 행렬의 종류

1) 영행렬(Zero Matrix)    O

2) 2차 정사각행렬(n-square Matrix) : 행과 열이 같은 행렬

3) 대각행렬(Diagonal Matrix) : 정사각행렬에서 대각원소 이외의 모든 원소가 0인 행렬

4) 단위행렬(Unit Matix, Identity Matrix) : 대각행렬에서 대각원소가 모두 1인 행렬

5) 전치행렬(Transpose Matrix) 

: m × n 행렬의 행과 열을 바꾼 n × m 행렬

6) 대칭행렬(Symmetric Matrix) : 인 행렬

7) 부울행렬(Boolean Matrix, Zero-One Matrix) : 모든 원소가 0,1로 구성된 행렬

* 부울행렬 연산자

(1) 합(join) : A∨B=

(2) 교차(meet) : A∧B=

(3) 부울곱(boolean product) : A⊙B

* 부울행렬 연산의 특징

(1) A∨A=A, A∧A=A

(2) A∨B=B∨A , A∧B=B∧A

(3) (A∨B)∨C=A∨(B∨C)

(4) A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)

 

˚ 행렬식(Determinant) |A| or det(A)

정의 : n차 정사각행렬에 대응하는 수를 구하는 식

1) 소행렬(Minor Matrix)

n차 정사각행렬에서 r번쨰 행과 s번째 열을 제거해서 얻은 (n-1)×(n-1)행렬

2) 소행렬식 det(A)

n차 정사각행렬의 소행렬 에 대한 행렬식

3) 여인수(Cofactor) , 여인수행렬(Cofactor Matrix)

n차 정사각행렬 에서 원소 에 관련된 수와 그 수들에 대한 행렬

4) 여인수를 이용한 행렬식

˚ 역행렬(Inverse Matrix) 

정사각행렬 A에 대해 AB=BA=I를 만족하는 행렬 B

1) 행렬식을 이용한 역행렬

2) 수반행렬

여인수행렬 에 대한 전치행렬

3) 가역행렬(Invertible Matrix 또는 Nonsingular Matrix)

역행렬이 존재하는 행렬

4) 특이행렬(Singular Matrix)

역행렬이 존재하지 않는 행렬

* 행렬식을 이용한 역행렬에서 의 분모가 0이 되면 특이행렬이 된다.

 

˚ 연립 1차 방정식(System at linear Equation) : 1차 방정식 m개로 구성된 방정식

1) 첨가행렬(Augmented Matrix)

2) 1차 방정식의 해를 구하는 방법

(1) 가우스 소거법(Gaussion Elimination)

① 가우스 소거법(Gaussion Elimination)

계수행렬의 대각원소들이 모두 1로 만들고, 대각원소를 기준으로 아래쪽 원소들은 모두 0으로 만든 후 위쪽 원소들은 계수들로 남겨놓은 형태의 첨가행렬

② 가우스 조르단 소서법(Gauss Jordan Elimination)

가우스행렬의 계수 부분을 단위행렬로 만들어 구하는 방법

 

 

 

 

 

˚ 수의 종류

복소수

 실수

유리수

정수

자연수 

(음의 정수, 0)

(무리수)

 (허수)

1) 자연수 N : 0보다 큰 정수

2) 정수 Z : 양의 정수, 0, 음의 정수로 구성된 수

3) 유리수 Q : 두 정수 a,b로 a/b(분수)의 꼴로 나타낸 수이며, b≠0 이고 b=1이면 정수가 된다. 

*하한항(lowset) : 분모와 분자 사이에 1 이외의 공약수가 존재하지 않는 유리수

4) 무리수 I : 실수 중 유리수가 아닌 수. a/b(b≠0)로 나타낼 수 없는 수.

5) 실수 R : 무리수와 유리수를 모두 포함하는 수.

6) 복소수 C : x² = -1을 포함하는 수 체계

 

˚ 수의 연산

1) 닫힘 성질

 

 +

 -

 ×

 ÷

 자연수 (N)

 O

 X

 O

 X

 정수 (Z)

 O

 O

 O

 X

 유리수 (Q)

 O

 O

 O

 O

 무리수 (I)

 X

 X

 X

 X

 실수 (R)

 O

 O

 O

 O

 복소수 (C)

 O

 O

 O

 O

2) 수의 특징

 x+y=y+x, xy=yx

 교환법칙 

 (x+y)+z=x+(y+z), (xy)z=x(yz)

 결합법칙

 x(y+z)=xy+xz

 분배법칙
 0  합에 대한 항등원
 1  곱에 대한 항등원
 -a  합에 대한 역
 1/a  곱에 대한 역

3) (시그마) : 일정한 규칙을 나열한 수를 더할 때 쓰는 기호

4) (프로덕트) : 일정한 규칙을 나열한 수를 곱할 때 쓰는 기호

5) 나머지 연산 : 정수 n을 d로 나누어 나오는 몫 q와 나머지 r이 있을때, r을 구하는 연산.

n mod d = r     n mod d = 0 ⇔ d|n

 

˚ 보수

1) 컴퓨터에서의 데이터 표현

 최상위 비트

부호비트

 데이터 비트

 데이터 비트

 데이터 비트

 데이터 비트

 데이터 비트

데이터 비트

 최하위 비트

데이터 비트

양수인 경우 부호비트가 0, 음수인 경우 1이 된다.

* 부호화-절대치 표현 : 부호와 데이터의 절댓값을 그대로 표현

1의 보수 : 음수 표현에만 사용 된다.

   2진법에 있어서 보수를 취할 때 각 자리의 반대수 (0→1, 1→0)를 취하는 보수.

2의 보수 : 음수 표현에만 사용되고, 절대치 비트에대한 1의 보수에 1을 더한다.

˚ 집합

집합이란? 영어 대문자(A, B, C, D, … )로 표기하며 어떤 조건들에 의해 분류되서 모인 요소들의 모임.

집합의 표기방식

1) 원소나열법 : 집합에 포함되는 원소를 일일이 나열하는 방법

ex) A={1,2,3,4}

2) 조건제시법 : 집합에 포함되는 원소의 공통적인 성질을 조건식으로 제시하는 방법

ex) A={x|x<5, x∈N}

집합과 원소의 포함관계 : 1 ∈ A 또는 5  A

기수(Cardinality) : 집합 A가 포함하는 원소의 수    |A| = 4

상등(Equal) : 두 개의 집합의 원소가 동일할 때 '상등'한다고 한다.    A=B⇔(a∈A∧a∈B)

 

˚ 집합의 종류

1) 전체집합(Universal Set) U : 논의 대상이 되는 원소 전체를 포함하는 집합

2) 공집합(Empty Set) { } or : 원소를 포함하지 않은 집합, ||=0

3) 부분집합(Subset) A⊆B : A의 모든 원소가 B에 포함되는 경우, |A||B|

4) 진부분집합(Proper Subset) A⊂B : B에 대하여 A의 요소 모두는 포함되어 있지 않은 부분 집합, |A|<|B|

 

˚ 집합의 연산

1) 합집합(Union) : 집합 A,B에 대하여 A에 속하거나 B에 속하는 원소로 되는 집합.

A∪B={x|x∈A∨x∈B}

2) 교집합(Intersection) : 집합 A,B에 대하여 A와 B에 동시에 속하는 원소로 되는 집합.

A∩B={x|x∈A∧x∈B}

3) 여집합 또는 보집합(Complement) : 전제집합에 속하지만 A를 제외 한 나머지.

A′={x|x∈U∧x∉A}=U-A

4) 차집합(Difference) : 집합 A,B에 대하여 A에 속하지만 B에 속하지 않는 집합.

A-B={x|x∈A∧x∉B}

5) 대칭차집합(Symmetric Difference) : 집합 A,B에 대하여 A-B 또는 B-A에 속하는 집합.

A⊕B={x|(x∈A∧x∉B)∨(x∈A∧x∉B)}={x|(x∈A-B)∨(x∈B-A)}

6) 서로소(Disjoint) : 집합 A,B에 대하여 공통으로 속하는 원소가 하나도 없는 경우.

A∩B=

 

˚집합의 대수법칙

집합

대수법칙

A∪∅=A,      A∩U=A

항등법칙(Identity Law)

A∪U=U,      A=

지배법칙(Domination Law)

A∪A=A,      A∩A=A

멱등법칙(Idempotent Law)

A∪B=B∪A, A∩B=B∩A

교환법칙(Communitive Law)

A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

결합법칙(Associative Law)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)

A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)

분배법칙(Distribute Law)

(A′)′

이중 보법칙(Double negation Law)

A∪A′=U,      A∩A′=

′=U,          U′=

보법칙(Complement Law)

(A∪B)′=A′∩B′,  (A∩B)′=A′∪B′

드모르간의 법칙(De Morgan's Law)

A∪(A∩B)=A,   A∩(A∪B)=A

흡수법칙(Absorption Law)

* 흡수법칙 증명

A∪(A∩B) = (A∪∅)∩(A∪B)    항등법칙

  = A∪(∅∩B)            분배법칙

  = A∪∅                  지배법칙

  = A                        항등법칙

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